🔍

Colles de mathématiques

Matrice imaginaire

Oral ENS Ulm, filière B/L, 2021



Exercice de maths: Matrices - Espaces vectoriels - Applications linéaires - Annales ENS Ulm - B/L

Sujet


Pour un entier n≥1, on note ℳn(R) l'ensemble des matrices à n lignes, n colonnes et à coefficients réels. On note In la matrice identité de ℳn(R).
Soit M∈ℳ2(R) une matrice telle que M2 = −I2.
  1. La matrice M possède-t-elle des valeurs propres ?
  2. Quel est le rang de M ?
  3. Soit x un vecteur non nul et u l'endomorphisme de R2 canoniquement associé à M.
    Montrer que (x, u(x)) est une base de R2 et donner la matrice de u dans cette base.
  4. Trouver toutes les matrices A∈ℳ3(R) telles que A2 = −I3.

Correction