Colles de mathématiques
Matrice imaginaire
Oral ENS Ulm, filière B/L, 2021
Sujet
Pour un entier n≥1, on note ℳn(R) l'ensemble des matrices à n lignes, n colonnes et à coefficients réels.
On note In la matrice identité de ℳn(R).
Soit M∈ℳ2(R) une matrice telle que M2 = −I2.
Soit M∈ℳ2(R) une matrice telle que M2 = −I2.
- La matrice M possède-t-elle des valeurs propres ?
- Quel est le rang de M ?
- Soit x un vecteur non nul et u l'endomorphisme de R2 canoniquement associé à M.
Montrer que (x, u(x)) est une base de R2 et donner la matrice de u dans cette base. - Trouver toutes les matrices A∈ℳ3(R) telles que A2 = −I3.
Corrigé de l'exercice de maths: Matrices - Espaces vectoriels - Applications linéaires - Annales ENS Ulm - B/L
Correction
Oral ENS ULM - 2021
- Soit
une valeur propre de
, alors il existe un vecteur non nul
tel que
.
En multipliant par, on a alors,
, et donc, nécessairement
car
.
C'est impossible (dans), et donc
n'a pas de valeur propre.
- Comme
, on a aussi
, ce qui montre
est inversible (d'inverse
), et en particulier que
.
On aurait aussi pu s'intéresser au noyau: soit, alors
donc
, d'où
, et on arrive à la même conclusion.
- Comme on a deux vecteurs dans un espace de dimension 2, il suffit de montrer que cette famille est libre.
Soitet
avec
, alors, en appliquant
on obtient
, d'où le système
Si, la deuxième équation donne aussi
, car
.
Si, la combinaison
donne
soit
, car
, et donc
: la famille est libre et forme donc une base de
.
Dans cette base, on a
et
, d'où la matrice dans cette base
- En raisonnant comme précédemment, une telle matrice n'admet pas de valeur propre, est de rang 3 (c'est-à-dire inversible), et si
, alors
est une famille libre (avec
l'endomorphisme canoniquement associé).
On complète cette base pour en obtenir une de, et dans celle-ci, la matrice s'écrit
Maintenant,n'est pas inversible, c'est-à-dire que
est une valeur propre de
, donc de
, ce qui est impossible.
On en conclut qu'il n'existe pas de telle matrice.
Remarque: sans revenir aux valeurs propres, une fois qu'on a obtenu la forme nécéssairepour de telles matrices, il suffit de calculer
et donc pour avoir, il faut nécessairement avoir
, ce qui est impossible.