Colles de mathématiques
Matrice inversible ? diagonalisable ?
Sujet
La matrice
A =
101
021
010
est-elle inversible ? diagonalisable ?
Corrigé de l'exercice de maths: Diagonalisation
Correction
det(A) =
101
021
010
= −1≠0
donc A est inversible.
Le polynôme caractéristique de A est:
![\[\begin{array}{ll}
\chi_A(X)=\det\left( A-XI_3\right)
&=\left|\begin{array}{ccc} 1-X&0&1\\0&2-X&1\\0&1&-X\enar\right| \\
&=(1-X)\Bigl(-X(2-X)-1\Bigr)\\[.5em]
&=(1-X)\left( X^2-2X-1\right)
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex01_c/4.png)
or le trinôme du second degré
admet pour discriminant
et donc admet deux racines rélles distinctes.
est donc diagonalisable.
Le polynôme caractéristique de A est:
or le trinôme du second degré
admet pour discriminant
et donc admet deux racines rélles distinctes.
est donc diagonalisable.