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Colles de mathématiques

Minimisation, moindres carrés et équations normales


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Sujet


Soit n et p deux entiers naturels avec p≤n. On munit Rn du produit scalaire canonique et on identifie Rn avec ℳn,1(R). On considère une matrice A∈ℳn,p(R) de rang p et B∈ℳn,1(R).
  1. Démontrer qu'il existe une unique matrice X0∈ℳp,1(R) telle que
    ||AX0 − B|| = inf{||AX − B|| ; X∈ℳp,1(R)}
  2. Montrer que X0 est l'unique solution de AT AX = AT B (en notant AT la matrice transposée).
  3. Application : déterminer
    inf{(x + y − 1)2 + (x − y)2 + (2x + y + 2)2 ; (x, y)∈R2}

Corrigé de l'exercice de maths: Espaces euclidiens

Correction


  1. Puisque $A$ est de rang $p$, l'application $X\mapsto AX$ qui va de $\mathcal{M}_{p,1}(\R)$ dans $\text{Im}(A)$ est injective.
    Or, $\inf\{\|AX-B\|;\ X\in\mathcal{M}_{p,1}(\R)\}$ est la distance de $B$ à $\text{Im}(A)$.
    Cette distance est atteinte uniquement par le projeté orthogonal sur $\text{Im}(A)$ (qui est de dimension finie) de $B$. Ce projeté orthogonal, unique, appartenant à $\text{Im}(A)$, s'écrit donc de façon unique $AX_0$.
  2. On a
    \[\begin{array}{lcl} AX_0=p_{\textrm{Im}(A)}(B)&\iff& \forall Z\in \textrm{Im}(A),\ AX_0-B\perp Z\\[.4em] &\iff& \forall X\in \mathcal{M}_{p,1}(\R),\ AX_0-B\perp AX\\[.4em] &\iff& \forall X\in \mathcal{M}_{p,1}(\R),\ (AX)^T (AX_0-B)=0\\[.4em] &\iff& \forall X\in\mathcal{M}_{p,1}(\R),\ X^T (A^TAX_0-A^T B)=0\\[.4em] &\iff &A^T AX_0=A^T B \enar\]

    $X_0$ est donc bien l'unique solution de $A^T AX=A^T B$.
  3. Posons $A=\lp\begin{array}{cc}1&1\\ 1&-1\\ 2&1\enar\rp$, et $B=\lp\begin{array}{c} 1\\0\\-2\enar\rp$.
    On vérifie que le rang de $A$ est $2$. La borne inférieure est donc atteinte en $X_0=\lp\begin{array}{c} x_0\\y_0\enar\rp$ solution de $A^T AX_0=A^TB$.
    Or
    \[A^T A=\lp\begin{array}{cc} 6&2\\ 2&3 \enar\rp,\ A^TB=\lp\begin{array}{c} -3\\-1\enar\rp\]

    On vérifie que $x_0=-1/2$ et $y_0=0$, et donc l'inf recherché vaut $7/2$.