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Colles de mathématiques

Minimisation, moindres carrés et équations normales



Exercice de maths: Espaces euclidiens

Sujet


Soit n et p deux entiers naturels avec p≤n. On munit Rn du produit scalaire canonique et on identifie Rn avec ℳn,1(R). On considère une matrice A∈ℳn,p(R) de rang p et B∈ℳn,1(R).
  1. Démontrer qu'il existe une unique matrice X0∈ℳp,1(R) telle que
    ||AX0 − B|| = inf{||AX − B|| ; X∈ℳp,1(R)}
  2. Montrer que X0 est l'unique solution de AT AX = AT B (en notant AT la matrice transposée).
  3. Application : déterminer
    inf{(x + y − 1)2 + (x − y)2 + (2x + y + 2)2 ; (x, y)∈R2}

Correction