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Colles de mathématiques

Probabilité de bonne réponse à un QCM


Sujet


  1. Soit A et B deux événements de probabilités non nulles. Montrer que
    PB(A) = PA(B) P(A)P(B)
  2. Un questionnaire à choix multiples propose m réponses pour chaque question.
    Soit p la probabilité qu'un étudiant connaisse la bonne réponse à une question donnée. S'il ignore la réponse, il choisit au hasard l'une des réponses proposées.
    Quelle est pour le correcteur la probabilité qu'un étudiant connaisse vraiment la bonne réponse lorsqu'il l'a donnée ?

Corrigé de l'exercice de maths: Probabilités conditionnelles - indépendance

Correction


  1. Par définition de la probabilité conditionnelle:
    \[P_A(B)=\dfrac{P\left( A\cap B\right)}{P(A)}\]

    et donc
    \[P_B(A)=\dfrac{P\left( A\cap B\right)}{P(B)} =\dfrac{P_A(B)\,P(A)}{P(B)}\]

  2. On note les événements $B$:"L'étudiant donne la bonne réponse" et $C$:"L'étudiant connait la bonne réponse".
    On cherche alors $P_B(C)$.
    D'après l'énoncé on a: $P(C)=p$, $P_C(B)=1$, et $P_{\overline{C}}(B)=\dfrac1m$.
    D'après la formule des probabilités totales, on a alors:
    P(B)&=P(B\cap C)+P(B\cap\overline{C})=P(C)P_C(B)+P\lp\overline{C}\right) P_{\overline{C}}(B)=p+(1-p)\tm\dfrac1m=\dfrac{mp+(1-p)}m

    et enfin, d'après la formule de Bayes, démontrée au a)
    P_B(C)=P_C(B)\dfrac{P(C)}{P(B)}=\dfrac{mp}{mp+(1-p)}=\dfrac{1}{1+\frac{1-p}{mp}}