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Colles de mathématiques

Probabilité d''une réunion d'événements indépendants


Sujet


  1. Soit n événements d'un espace probabilisé (Ω, P), A1, A2, …, An. On les suppose mutuellement indépendants et de probabilités respectives pi = P(Ai).
    Donner une expression de P(A1∪A2∪…∪An) en fonction de p1, p2, …, pn.
  2. Un avion quadrimoteur peut voler tant qu'au moins un de ses moteurs fonctionne. Chacun de ses moteurs peut tomber en panne, indépendamment les uns des autres, avec la probabilité p = 0,01.
    Déterminer la probabilité que l'avion arrive à bon port.

Corrigé de l'exercice de maths: Probabilités conditionnelles - indépendance

Correction


  1. Les événements $A_1,\dots,A_n$ sont mutuellement indépendants, et donc les événements complémentaires $\overline{A_1},\dots,\overline{A_n}$ le sont aussi. On a donc
    \[\begin{array}{ll} P\left( A_1\cup\dots\cup A_n\right) &=1-P\lp\,\overline{A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_n}\,\rp\\[.8em] &=1-P\lp\overline{A_1}\cap\dots\cap \overline{A_n}\rp\\ &=1-\dsp\prod_{i=1}^n P(\overline{A_i})\\ &=1-\dsp\prod_{i=1}^n (1-p_i)\enar\]

  2. L'avion a quatre moteurs, et on note $A_i$: "le moteur $i$ ne tombe pas en panne", et on a $P\left( A_i\rp=1-p$.
    L'avion peut continuer de voler avec la probabilité
    \[\begin{array}{ll}P\left( A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4\right) &=1-\bigl(1-(1-p)\bigr)^4\\[.7em] &=1-p^4=1-10^{-8}\enar\]