Colles de mathématiques
Produit scalaire avec des polynômes, base orthonormale et calcul de distance
Exercice de maths: Espaces euclidiens - Polynômes
Sujet
Soit E = Rn[X] et
a0, a1, …, an des réels distincts.
On pose, pour ( P, Q)∈E2,
⟨P, Q⟩ =
n
∑
k=0
P(ak)Q(ak)
- Vérifier qu'on définit un produit scalaire sur E.
- Déterminer une base orthonormée de E.
- Déterminer la distance de Q∈E au sous-espace H = {P∈E ; n ∑ k=0 P(ak) = 0}