Colles de mathématiques
Produit scalaire avec des polynômes, base orthonormale et calcul de distance
Sujet
Soit E = Rn[X] et
a0, a1, …, an des réels distincts.
On pose, pour ( P, Q)∈E2,
〈P, Q〉 =
n
∑
k=0
P(ak)Q(ak)
- Vérifier qu'on définit un produit scalaire sur E.
- Déterminer une base orthonormée de E.
- Déterminer la distance de Q∈E au sous-espace H = {P∈E ; n ∑ k=0 P(ak) = 0}
Corrigé de l'exercice de maths: Espaces euclidiens - Polynômes
Correction
- Il est clair qu'on définit ainsi une forme bilinéaire symétrique et que
. De plus, si
, alors
Or, un polynôme de degré au plusayant au moins
racines est nécessairement le polynôme nul.
Doncet la forme bilinéaire est définie positive : c'est un produit scalaire.
- Contrairement à ce que l'on fait souvent, ici, utiliser le procédé de Gram-Schmidt pour trouver une base
orthonormale n'est pas la meilleure idée.
On peut plutôt raisonner en terme de racines et voir que si
s'annule en beaucoup de
, alors
sera souvent nul. On va donc définir, pour
Pour, on a
La famille est donc orthogonale. On l'orthonormalise finalement en remarquant que
et on pose donc
est une famille orthonormale de
éléments dans un espace de dimension
. C'est une base de
.
- On va trouver un vecteur normal à l'hyperplan
. C'est très facile en regardant la définition de
, car si on pose
, on a
est donc un vecteur normal à
.
Par une formule du cours (très facile à retrouver par un dessin), on en déduit que la distance deà
est