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Colles de mathématiques

Caractérisation d'une similitude



Exercice de maths: Produit scalaire dans Rn - Espaces euclidiens

Sujet


Soit E = Rn muni du produit scalaire canonique, f∈ℒ(E) et λ>0. On dit que f est une similitude de rapport λ si pour tout x∈E, ||f(x)|| = λ||x||.
  1. Soit u, v∈E tels que u+v⊥u−v. Démontrer que ||u|| = ||v||.
  2. Démontrer que f est une similitude de rapport λ si et seulement si, pour tous x, y∈E, ⟨f(x), f(y)⟩ = λ2⟨x, y⟩.
  3. On souhaite prouver que f est une similitude si et seulement f est non-nulle et conserve l'orthogonalité: pour tout couple (x, y)∈E2, si x⊥y, alors f(x)⊥f(y).
    1. Prouver le sens direct.
    2. Soit (e1, …, en) une base orthonormale de E. Démontrer que, pour tout couple (i, j), on a ||f(ei)|| = ||f(ej)||.
    3. Démontrer le sens réciproque.

Correction