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Colles de mathématiques

Produit scalaire avec des polynômes, matrice de Gram, et base orthonormale



Exercice de maths: Espaces euclidiens - Polynômes - Matrices

Sujet


Pour P et Q deux polynômes de E = R2[X], on pose
⟨P, Q⟩ = P(0)Q(0) + P(1)Q(1) + P(2)Q(2)
  1. Vérifier qu'on définit ainsi un produit scalaire sur E.
  2. Pour des polynômes P1, P2, …, Pn, on appelle matrice de Gram la matrice dont les coefficients sont ⟨Pi, Pj⟩ .
    Donner la matrice de Gram associée à la base canonique de E.
  3. On pose R1(X) = X(X − 1) et R2(X) = X(X − 2) .
    Montrer que R1 et R2 sont orthgonaux.
    Donner alors une base orthonormale de P.

Correction