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Colles de mathématiques

Produit scalaire avec des polynômes, matrice de Gram, et base orthonormale


Sujet


Pour P et Q deux polynômes de E = R2[X], on pose
⟨P, Q⟩ = P(0)Q(0) + P(1)Q(1) + P(2)Q(2)
  1. Vérifier qu'on définit ainsi un produit scalaire sur E.
  2. Pour des polynômes P1, P2, …, Pn, on appelle matrice de Gram la matrice dont les coefficients sont ⟨Pi, Pj⟩ .
    Donner la matrice de Gram associée à la base canonique de E.
  3. On pose R1(X) = X(X − 1) et R2(X) = X(X − 2) .
    Montrer que R1 et R2 sont orthgonaux.
    Donner alors une base orthonormale de P.

Corrigé de l'exercice de maths: Espaces euclidiens - Polynômes - Matrices

Correction


  1. L'application est clairement bilinéaire, symétrique et positive car
    \[\|P\|^2=\left( P,P\rp=\left( P(0)\rp^2+\left( P(1)\rp^2+\left( P(2)\rp^2\geqslant0\]

    Elle est de plus définie car, $\left( P,P\rp=0 \iff P(0)=P(1)=P(2)=0$, et donc, en d'autres termes, $P$ admet trois racines distinctes, ce qui est impossible pour un polynôme de degré inférieur ou égal à 2, ormis pour le polynôme nul, soit $P=0$.
  2. On calcule $G=\lp\begin{array}{ccc} 3 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 9 \\ 5 & 9 & 17\enar\rp$.
  3. $\left( R_1,R_2\rp=R_1(0)R_2(0)+R_1(1)R_2(1)+R_1(2)R_2(2)=0$, et donc $R_1$ et $R_2$ sont bien orthogonaux.
    On complète avec un troisième polynôme, $R_3=(X-1)(X-2)$, orthogonal aux deux précédents.
    On normalise enfin ces trois polynômes: $\|R_1\|^2=\left( R_1,R_1\rp=4$, $\|R_2\|^2=\left( R_2,R_2\rp=1$ et $\|R_3\|^2=\left( R_3,R_3\rp=4$.
    La famille $\left( T_1,T_2,T_3\rp$, avec $T_1=\dfrac12R_2=\dfrac12X(X-1)$, $T_2=R_2=X(X-2)$ et $T_3=\dfrac12R_3=\dfrac12(X-1)(X-2)$ est donc une base orthonormale.