Colles de mathématiques
Racine cubique d'une matrice
Sujet
Soit
A =
−53
6−2
.
Montrer que A est diagonalisable et calculer ses valeurs propres.
En déduire qu'il existe une matrice B telle que B3 = A.
En déduire qu'il existe une matrice B telle que B3 = A.
Corrigé de l'exercice de maths: Diagonalisation
Correction
On commence par rechercher les valeurs propres pour diagonaliser cette matrice.
Avec le polynôme caractéristique:
1 et racine évidente, et on on a alors la factorisation
qui montre que le polynôme cacactéristique admet deux valeurs propres distinctes et donc, en particulier, que est diagonalisable.
Il existe donc une matrice de passage inversible telle que , avec
On trouve facilement une racine cubique de cette dernière:
est bien telle que .
Maintenant, la matrice définie par
vérifie
Avec un calcul de rang: est une valeur propre lorsque , soit
soit, avec l'opération ,
On cherche donc les racines du trinôme du second degré qui sont 1 (évidente) et -8.
Ainsi, il y a deux valeurs propres distinctes et donc, en particulier, est diagonalisable.
Il existe donc une matrice de passage inversible telle que , avec
On trouve facilement une racine cubique de cette dernière:
est telle que .
On a alors que la matrice définie par
vérifie
Avec le polynôme caractéristique:
1 et racine évidente, et on on a alors la factorisation
qui montre que le polynôme cacactéristique admet deux valeurs propres distinctes et donc, en particulier, que est diagonalisable.
Il existe donc une matrice de passage inversible telle que , avec
On trouve facilement une racine cubique de cette dernière:
est bien telle que .
Maintenant, la matrice définie par
vérifie
Avec un calcul de rang: est une valeur propre lorsque , soit
soit, avec l'opération ,
On cherche donc les racines du trinôme du second degré qui sont 1 (évidente) et -8.
Ainsi, il y a deux valeurs propres distinctes et donc, en particulier, est diagonalisable.
Il existe donc une matrice de passage inversible telle que , avec
On trouve facilement une racine cubique de cette dernière:
est telle que .
On a alors que la matrice définie par
vérifie