Colles de mathématiques
Racine cubique d'une matrice
Sujet
Soit
A =
−53
6−2
.
Montrer que A est diagonalisable et calculer ses valeurs propres.
En déduire qu'il existe une matrice B telle que B3 = A.
En déduire qu'il existe une matrice B telle que B3 = A.
Corrigé de l'exercice de maths: Diagonalisation
Correction
On commence par rechercher les valeurs propres pour diagonaliser cette matrice.
Avec le polynôme caractéristique:
1 et racine évidente, et on on a alors la factorisation
![\[P_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+8)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/2.png)
qui montre que le polynôme cacactéristique admet deux valeurs propres distinctes et donc, en particulier, que
est diagonalisable.
Il existe donc une matrice de passage inversible
telle que
, avec
![\[D=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&-8\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/6.png)
On trouve facilement une racine cubique de cette dernière:
![\[B=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&-2\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/7.png)
est bien telle que
.
Maintenant, la matrice
définie par
![\[M=PBP^{-1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/10.png)
vérifie
![\[M^3=PB^3P^{-1}=PDP^{-1}=A\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/11.png)
Avec un calcul de rang:
est une valeur propre lorsque
, soit
![\[r=\lp\lambda I-A\right)
=\lp\begin{array}{cc}\lambda+5&-3\\-6&\lambda+2\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/14.png)
soit, avec l'opération
,
![\[r=\lp\begin{array}{cc}\lambda+5&-3\\-18+(\lambda+2)(\lambda+5)&0\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/16.png)
On cherche donc les racines du trinôme du second degré
qui sont 1 (évidente) et -8.
Ainsi, il y a deux valeurs propres distinctes et donc, en particulier,
est diagonalisable.
Il existe donc une matrice de passage inversible
telle que
, avec
![\[D=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&-8\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/21.png)
On trouve facilement une racine cubique de cette dernière:
![\[B=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&-2\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/22.png)
est telle que
.
On a alors que la matrice
définie par
![\[M=PBP^{-1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/25.png)
vérifie
Avec le polynôme caractéristique:

1 et racine évidente, et on on a alors la factorisation
![\[P_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+8)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/2.png)
qui montre que le polynôme cacactéristique admet deux valeurs propres distinctes et donc, en particulier, que

Il existe donc une matrice de passage inversible


![\[D=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&-8\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/6.png)
On trouve facilement une racine cubique de cette dernière:
![\[B=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&-2\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/7.png)
est bien telle que

Maintenant, la matrice

![\[M=PBP^{-1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/10.png)
vérifie
![\[M^3=PB^3P^{-1}=PDP^{-1}=A\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/11.png)
Avec un calcul de rang:


![\[r=\lp\lambda I-A\right)
=\lp\begin{array}{cc}\lambda+5&-3\\-6&\lambda+2\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/14.png)
soit, avec l'opération

![\[r=\lp\begin{array}{cc}\lambda+5&-3\\-18+(\lambda+2)(\lambda+5)&0\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/16.png)
On cherche donc les racines du trinôme du second degré

Ainsi, il y a deux valeurs propres distinctes et donc, en particulier,

Il existe donc une matrice de passage inversible


![\[D=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&-8\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/21.png)
On trouve facilement une racine cubique de cette dernière:
![\[B=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&-2\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/22.png)
est telle que

On a alors que la matrice

![\[M=PBP^{-1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/25.png)
vérifie
![\[M^3=PB^3P^{-1}=PDP^{-1}=A\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/26.png)