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Colles de mathématiques

Résolution d'un système 3x3 par le pivot de Gauss-Jordan


Sujet


En utilisant l'algorithme du pivot de Gauss-Jordan, résoudre le système
\[ \la\begin{array}{rcrcrcc} 2x&+&y&-&z &=&1\\ x&-&2y&+&2z &=&3\\ x&-&y&+&2z &=&5 \enar\right.\]


Corrigé de l'exercice de maths: Matrices

Correction


On écrit le système sous forme matricielle $AX=b$ avec $A=\lb\begin{array}{rrr}2&1&-1\\1&-2&2\\1&-1&2\enar\rb$, $X=\lb\begin{array}{c}x\\y\\z\enar\rb$ et $b=\lb\begin{array}{c}1\\3\\5\enar\rb$.


Pour utiliser la méthode du pivot de Gauss-Jordan, on écrit ensuite la matrice augmentée
\[\lb\begin{array}{rrr|r}2&1&-1 &1\\1&-2&2 &3\\1&-1&2 &5\enar\rb\]

On ramène le pivot de la 1ère ligne à 1 par $L_1\leftarrow\dfrac12 L_1$,
\[\lb\begin{array}{rrr|r}1&\dfrac12&-\dfrac12 &\dfrac12\\[.6em] 1&-2&2 &3\\ 1&-1&2 &5\enar\rb\]

puis $L_2\leftarrow L_2-L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-L_1$ pour obtenir
\[\lb\begin{array}{rrr|r}1&\dfrac12&-\dfrac12 &\dfrac12\\[.8em] 0&-\dfrac52&\dfrac52 &\dfrac52\\[.8em] 0&-\dfrac32&\dfrac52 &\dfrac92\enar\rb\]

on ramène le pivot de la deuxième ligne à 1 par $L_2\leftarrow-\dfrac25L_2$
\[\lb\begin{array}{rrr|r} 1&\dfrac12&-\dfrac12 &\dfrac12\\[.8em] 0&1&-1 &-1\\[.8em] 0&-\dfrac32&\dfrac52 &\dfrac92\enar\rb\]

puis $L_3\leftarrow L_3+\dfrac32L_2$ et $L_1\leftarrow L_1-\dfrac12L_2$ pour obtenir
\[\lb\begin{array}{rrr|r} 1&0&0 &1\\[.8em] 0&1&-1 &-1\\[.8em] 0&0&1 &3\enar\rb\]

enfin, $L_2\leftarrow L_2+L_3$ donne
\[\lb\begin{array}{rrr|r} 1&0&0 &1\\[.8em] 0&1&0 &2\\[.8em] 0&0&1 &3\enar\rb\]

et on trouve donc ici la solution $X=\lb\begin{array}{c}x\\y\\z\enar\right] = \lb\begin{array}{c}1\\2\\3\enar\rb$