Colles de mathématiques
Résolution d'un système 3x3 par le pivot de Gauss-Jordan
Sujet
En utilisant l'algorithme du pivot de Gauss-Jordan, résoudre le système
![\[
\la\begin{array}{rcrcrcc}
2x&+&y&-&z &=&1\\
x&-&2y&+&2z &=&3\\
x&-&y&+&2z &=&5
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/systeme-GJ-1/1.png)
![\[
\la\begin{array}{rcrcrcc}
2x&+&y&-&z &=&1\\
x&-&2y&+&2z &=&3\\
x&-&y&+&2z &=&5
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/systeme-GJ-1/1.png)
Corrigé de l'exercice de maths: Matrices
Correction
On écrit le système sous forme matricielle
avec
,
et
.
Pour utiliser la méthode du pivot de Gauss-Jordan, on écrit ensuite la matrice augmentée
![\[\lb\begin{array}{rrr|r}2&1&-1 &1\\1&-2&2 &3\\1&-1&2 &5\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/systeme-GJ-1_c/5.png)
On ramène le pivot de la 1ère ligne à 1 par
,
![\[\lb\begin{array}{rrr|r}1&\dfrac12&-\dfrac12 &\dfrac12\\[.6em]
1&-2&2 &3\\
1&-1&2 &5\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/systeme-GJ-1_c/7.png)
puis
et
pour obtenir
![\[\lb\begin{array}{rrr|r}1&\dfrac12&-\dfrac12 &\dfrac12\\[.8em]
0&-\dfrac52&\dfrac52 &\dfrac52\\[.8em]
0&-\dfrac32&\dfrac52 &\dfrac92\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/systeme-GJ-1_c/10.png)
on ramène le pivot de la deuxième ligne à 1 par
![\[\lb\begin{array}{rrr|r}
1&\dfrac12&-\dfrac12 &\dfrac12\\[.8em]
0&1&-1 &-1\\[.8em]
0&-\dfrac32&\dfrac52 &\dfrac92\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/systeme-GJ-1_c/12.png)
puis
et
pour obtenir
![\[\lb\begin{array}{rrr|r}
1&0&0 &1\\[.8em]
0&1&-1 &-1\\[.8em]
0&0&1 &3\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/systeme-GJ-1_c/15.png)
enfin,
donne
![\[\lb\begin{array}{rrr|r}
1&0&0 &1\\[.8em]
0&1&0 &2\\[.8em]
0&0&1 &3\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/systeme-GJ-1_c/17.png)
et on trouve donc ici la solution




Pour utiliser la méthode du pivot de Gauss-Jordan, on écrit ensuite la matrice augmentée
![\[\lb\begin{array}{rrr|r}2&1&-1 &1\\1&-2&2 &3\\1&-1&2 &5\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/systeme-GJ-1_c/5.png)
On ramène le pivot de la 1ère ligne à 1 par

![\[\lb\begin{array}{rrr|r}1&\dfrac12&-\dfrac12 &\dfrac12\\[.6em]
1&-2&2 &3\\
1&-1&2 &5\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/systeme-GJ-1_c/7.png)
puis


![\[\lb\begin{array}{rrr|r}1&\dfrac12&-\dfrac12 &\dfrac12\\[.8em]
0&-\dfrac52&\dfrac52 &\dfrac52\\[.8em]
0&-\dfrac32&\dfrac52 &\dfrac92\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/systeme-GJ-1_c/10.png)
on ramène le pivot de la deuxième ligne à 1 par

![\[\lb\begin{array}{rrr|r}
1&\dfrac12&-\dfrac12 &\dfrac12\\[.8em]
0&1&-1 &-1\\[.8em]
0&-\dfrac32&\dfrac52 &\dfrac92\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/systeme-GJ-1_c/12.png)
puis


![\[\lb\begin{array}{rrr|r}
1&0&0 &1\\[.8em]
0&1&-1 &-1\\[.8em]
0&0&1 &3\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/systeme-GJ-1_c/15.png)
enfin,

![\[\lb\begin{array}{rrr|r}
1&0&0 &1\\[.8em]
0&1&0 &2\\[.8em]
0&0&1 &3\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/systeme-GJ-1_c/17.png)
et on trouve donc ici la solution
![$X=\lb\begin{array}{c}x\\y\\z\enar\right]
=
\lb\begin{array}{c}1\\2\\3\enar\rb$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/systeme-GJ-1_c/18.png)