Colles de mathématiques

Soit P un polynôme de R[X] dont toutes les racines sont réelles et simples.
Montrer que toutes les racines de P' sont aussi simples.
Qu'en est-il si on ne suppose plus que les racines sont toutes simples ?

On considère un polynôme de degré n qui admet donc n racines réelles. Si toutes les racines α_i de P sont simples et distinctes: α < α₂ < … < α_n alors, en appliquant le théorème de Rolle n −1 fois à la fonction polynôme x ↦P(x) dérivable sur R donc sur chaque intervalle [α_i; α_i+1], on obtient n −1 racines réelles distinctes, car elles appartiennent toutes à des intervalles disjoints ]α_i; α_i+1[, pour P'.

Si les racines ne sont pas toutes simples, Il reste à étudier le cas où des racines sont multiples. Supposons maintenant que P admettent m≤n racines réelles distinctes, chacune de multiplicité m_i avec D'une part, chaque racine de P de multiplicité m_i>1 est aussi racine de P' de multiplicité m_i −1, et d'autre part le théorème de Rolle nous fournit aussi m −1 autres racines réelles distinctes pour P'.
Le nombre de racine réelles de P' est donc On a donc toutes les racines de P' qui sont donc bien toutes réelles.