Colles de mathématiques
Rolle et polynômes
Sujet
Soit P un polynôme de R[X] de degré n ayant n racines réelles distinctes.
- Démontrer que toutes les racines de P' sont réelles.
- En déduire que le polynôme P2 + 1 n'admet que des racines simples.
- Reprendre les questions si l'on suppose simplement que toutes les racines de P sont réelles.
Corrigé de l'exercice de maths: Polynômes - Théorèmes de Rolle & accroissements finis
Correction
- On peut noter
les racines telles que
. La fonction polynômiale
est continue et dérivable
, donc sur chaque intervalle
et s'annule aux bornes de ces intervalles.
On en déduit donc, d'après le théorème de Rolle, l'existence detel que
. Les réels
, racines de
, sont alors distincts, car appartenant à des intervalles disjoints. Comme de plus
est de degré
, on a donc trouvé toutes les racines de
qui sont bien réelles (et simples).
- On note
. Tout d'abord, ce polynôme n'a pas de racine réelle, car pour tout réel
, on a
, et ses racines sont donc nécessairement complexes,
De plus, sa dérivée est.
a
racines réelles distinctes et
en a
aussi réelles et distinctes.
On a ainsiracines réelles toutes distinctes pour le polynôme
qui est de degré
. Ainsi, toutes les racines de
sont réelles alors que celles de
sont toutes complexes:
et
nont donc aucune racine commune et toutes les racines de
sont nécessairement simples.
- On a traité jusque là le cas où toutes les racines sont réelles et simples.
Supposons maintenant que
admettent
racines réelles distinctes, chacune de multiplicité
avec
D'une part, chaque racine dede multiplicité
est aussi racine de
de multiplicité
, et d'autre part, le théorème de Rolle nous fournit aussi
autres racines réelles distinctes pour
.
Le nombre de racine réelles deest donc
On a toujourset donc
qui a donc toujours
racines réelles.
et
n'ont donc toujours aucune racine commune et donc les racines de
sont toutes simples.