🔍

Colles de mathématiques

Signe d'une fonction dont la dérivée seconde est négative


Sujet


Soit a et b deux réels tels que a < b . Soit f une fonction deux fois dérivable sur [a, b] telle que f(a)= f(b) = 0 et pour tout x∈]a, b[, f ''(x)≤0 .
Montrer que, pour tout x∈[a, b], f(x)≥0 .

Corrigé de l'exercice de maths: Théorèmes de Rolle & accroissements finis

Correction


Méthode 1: que des accroissements finis
Soit $x\in]a;b[$, alors le théorème des accroissements finis sur $[a;x]$ d'une part, puis sur $[x;b]$ d'autre part donne l'existence de $\alpha\in]a;x[$ et $\beta\in]x;b[$ et
\[\begin{array}{rll} f(x)&=f(x)-f(a)&=(x-a)f'(\alpha) \\[.6em] -f(x)&=f(b)-f(x)&=(b-x)f'(\beta) \enar\]

soit
\[f'(\alpha)=\dfrac{f(x)}{x-a} \ \text{ et } f'(\beta)=\dfrac{-f(x)}{b-x}\]

puis, le même théorème des accroissements finis sur $[\alpha;\beta]$,
\[f'(\beta)-f'(\alpha)=(\beta-\alpha)f

soit
\[ f'(\beta)-f'(\alpha) =-\dfrac{f(x)}{b-x}-\dfrac{f(x)}{x-a} =-f(x)\lp\dfrac1{b-x}+\dfrac1{x-a}\right) =(\beta-\alpha)f

Maintenant, comme $x\in]a;b[$, on a $b-x>0$, $x-a>0$, et plus $\alpha<\beta\iff \beta-\alpha>0$.
Enfin, comme $f, on trouve que, nécessairement, on doit avoir $f(x)\geqslant0$.
Ceci étant valable pour tout $x\in]a;b[$, et comme $f(a)=f(b)=0$, on a bien $f\geqslant0$ sur $[a;b]$.


Méthode 2: Rolle et sens de variation
Comme $f(a)=f(b)=0$, on peut penser au théorème de Rolle: il existe $c\in]a;b[$ tel que $f'(c)=0$.
Maintenant comme $f$ est deux fois dérivable, en particulier $f'$ est continue, et comme $f, on a les variations:
Tableau de variations de la dérivée de f

d'où le signe de $f'$ et les variations de $f$,
Tableau de variation de f

Il apparaît donc clairement que $f\geqslant0$.