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Colles de mathématiques

Sous-espaces vectoriels supplémentaires


Sujet


Soit F et G les ensembles F = {(a, a, a) ∈ R3 ; a∈R} et G = {(b+c, b, c) ∈ R3 ; b∈R , c∈R} .
  1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R3.
  2. Déterminer F∩G.
  3. F et G sont-ils supplémentaires ?

Corrigé de l'exercice de maths: Espaces vectoriels

Correction


  1. Si $V(a;a;a)$et $V\left( a';a';a'\rp$ alors $(\alpha V+\beta V')(z;z;z)$ avec $z=\alpha a+\beta a'\in\R$, c'est-à-dire $(\alpha V+\beta V')\in F$.
    De même, si $V(b+c;b;c)$ et $V'(b'+c';b';c')$ alors $(\alpha V+\beta V')(x;y;z)$ avec $y=\alpha b+\beta b'$ et $z=\alpha c+\beta c'$ et $x=\alpha (b+c)+\beta(b'+c')=y+z$.

  2. Soit $V\in F\cap G$, donc $V(a;a;a)$ et $a=a+a$, ainsi $a=0$ et $F\cap G=\emptyset$.

  3. On peut raisonner avec des bases de $F$ et $G$: $e_1(1;1;1)$ est une base de $F$, et $\left( e_2(1;1;0);e_3(1;0;1)\rp$ en est une pour $G$.

    On remarque (et montre) que $(e_1;e_2;e_3)$ est une base de $\R^3$, ce qui montre que $F$ et $G$ sont supplémentaires.