Colles de mathématiques
Suite non bornée divergente ?
Sujet
Soit
une suite positive non bornée.
Est-ce que, nécessairement,
?
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex1/1.png)
![$\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex1/2.png)
Corrigé de l'exercice de maths: Suites - Limite
Correction
Non, par exemple,
telle que
et
.
Clairement
n'est pas bornée, car pour tout entier
,
dès que
,
mais on n'a pas
à cause des termes de rang impair.
La réciproque par contre est vraie: si
diverge vers
alors
n'est pas bornée.
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex1_c/1.png)
![$u_{2n}=n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex1_c/2.png)
![$u_{2n+1}=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex1_c/3.png)
Clairement
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex1_c/4.png)
![$M$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex1_c/5.png)
![$u_{2n}>M$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex1_c/6.png)
![$n>M$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex1_c/7.png)
![$\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex1_c/8.png)
La réciproque par contre est vraie: si
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex1_c/9.png)
![$+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex1_c/10.png)
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex1_c/11.png)