Colles de mathématiques
Suite récurrente avec une racine carrée
Sujet
Soit et la suite définie par récurrence par et
pour .
- Soit pour . Étudier le signe de .
- Étudier la convergence de la suite .
- On pose . Montrer que
Corrigé de l'exercice de maths: Suites
Correction
- On peut par exemple chercher à résoudre l'inéquation pour :
Cette inéquation n'a aucune solution, ce qui montre que pour tout , on a , et que . - D'après ce qui précède, on a, si ,
,
soit et donc décroissante.
Il reste à montrer qu'on a bien pour tout entier .
En fait, on a et donc .
Cette initialisation nous incite à montrer plutôt que :
C'est donc vrai pour et , puis, si c'est vrai à rang , c'est-à-dire , alors
et cette propriété est donc héréditaire.
Le principe de récurrence nous permet alors de conclure que pour tout entier , et donc aussi que est décroissante.
Cett suite est donc maintenant décroissante et minorée par 2, et elle converge donc vers une limite qui est nécessairement un point fixe de ou encore une solution de l'équation .
On a vu que cela ne peut être que .
-
On peut alors penser à mulitplier par la quantité conjuguée
et donc, comme on a a vu que , on trouve donc que
On peut aussi utiliser un développement limité, en revenant d'abord à , puis