Colles de mathématiques
Suite récurrente définie par une fonction - Inégalité des accroissements finis
Sujet
On considère la suite (un) définie par
u0∈ 0; 43
et, pour tout n∈N,
un+1 =
13
(4 − un2) .
Justifier que ∀n∈N, on a un∈ 0; 43 .
À l'aide de l'inégalité des accroissements finis, montrer que (un) converge vers 1.
Justifier que ∀n∈N, on a un∈ 0; 43 .
À l'aide de l'inégalité des accroissements finis, montrer que (un) converge vers 1.
Corrigé de l'exercice de maths: Suites
Correction
Soit
et
, de telle que sorte que
.
est dérivable sur
avec
sur
.
Ainsi
est décroissante sur
,
et comme
et
on a
,
et
est donc stable par
.
Ainsi, si
,
,
puis par une récurrence immédiate, pour tout entier
,
.
On veut montrer la convergence de
vers 1, donc majorer
, ou encore, comme
,
,
d'où l'idée d'utiliser l'inégalité des accroissements finis sur l'intervalle
ou
.
est continue et dérivable sur
, et
pour tout
, on a
.
L'inégalité des accroissements finis avec
et
donne alors
![\[\left|f\left( u_n\right) -f(1)\right|=\left|u_{n+1}-1\right|\leqslant\dfrac89\left|u_n-1\right|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/31.png)
Par une récurrence immédiate, on trouve alors
![\[\left|u_n-1\left|\leqslant\lp\dfrac89\rp^n\left|u_0-1\right|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/32.png)
et comme
,
on en déduit que
converge bien vers 1.














Ainsi, si




On veut montrer la convergence de










L'inégalité des accroissements finis avec


![\[\left|f\left( u_n\right) -f(1)\right|=\left|u_{n+1}-1\right|\leqslant\dfrac89\left|u_n-1\right|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/31.png)
Par une récurrence immédiate, on trouve alors
![\[\left|u_n-1\left|\leqslant\lp\dfrac89\rp^n\left|u_0-1\right|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAsuite1_c/32.png)
et comme

