Colles de mathématiques
Suites récurrentes couplées
Sujet
Soit
,
et
trois suites réelles telles que
,
,
, et vérifiant les relations de récurrence :
![$(a_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex4/1.png)
![$(b_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex4/2.png)
![$(c_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex4/3.png)
![$a_0=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex4/4.png)
![$b_0=2$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex4/5.png)
![$c_0=7$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex4/6.png)
![$\la\begin{array}{rcl}
a_{n+1}&=&3a_n+b_n\\
b_{n+1}&=&3b_n+c_n\\
c_{n+1}&=&3c_n
\enar\right.$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex4/7.png)
- On considère le vecteur colonne
. Trouver une matrice
telle que
.
- Soit
. Calculer
,
, puis
pour
.
- Montrer que
.
En déduire,
et
en fonction de
.
Corrigé de l'exercice de maths: Suites - Matrices
Correction
- Soit
, alors
.
- On a :
, et
.
Pour, on a alors
.
- On a
et, comme les matrices
et
commutent (
), on peut utiliser le binôme de Newton qui fournit directement le résultat demandé.
- On a donc
.
On obtient alors :