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Colles de mathématiques

Système d'équations différentielles


Sujet


Résoudre le système d'équations différentielles: x' = 2x − y y' = −x + 2y avec x(0) = 1 et y(0) = 2.

Corrigé de l'exercice de maths: Équations différentielles - Diagonalisation

Correction


On pose $A=\lp\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 2\enar\rp$ et $X(t)=\lp\begin{array}{c}x(t)\\y(t)\enar\rp$, alors $X'=\lp\begin{array}{c}x'\\y'\enar\rp$ et le système s'écrit $X'=AX$.

On sait alors que la solution de cette équation différentielle est $X(t)=\exp\left( At\right) X(0)$.
Il reste donc à calculer l'exponentielle de matrice:
\[\exp(At)=\sum_{n\geqslant0}\dfrac{(At)^n}{n!} =\sum_{n\geqslant0}\dfrac1{n!}A^nt^n\]

et donc les puissances de la matrice $A$.

On peut à cette fin diagonaliser $A$ (qui est une matrice symétrique réelle, donc en particulier bien diagonalisable).
Le polynôme caractéristique de $A$ est
\[\begin{array}{ll} \chi_A(X)&=\det(XI-A)=\left|\begin{array}{cc}X-2 & 1\\1 & X-2\enar\right| \\[1.2em] &=(X-2)^2-1^2=(X-1)(X-3)\enar\]

Ainsi, $A$ admet deux valeurs propres 1 et 3.

Sous-espace propre associé à la valeur propre 1: $(I-A)X=0\iff\la\begin{array}{ll}-x+y=0\\x-y=0\enar\right. \iff x=y$. Le sous-espace propre est de dimension 1, engendré par $e_1\lp\begin{array}{c}1\\1\enar\rp$.

Sous-espace propre associé à la valeur propre 3: $(3I-A)X=0\iff\la\begin{array}{ll}x+y=0\\x+y=0\enar\right. \iff x=-y$. Le sous-espace propre est de dimension 1, engendré par $e_2\lp\begin{array}{c}1\\-1\enar\rp$.


On a alors $A=PDP^{-1}$ avec la matrice diagonale $D=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&3\enar\rp$ et la matrice de passage $P=\left( e_1 e_2\rp=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\enar\rp$ et son inverse $P^{-1}=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\enar\rp$.
On obtient alors,
\[\begin{array}{ll} A^n&=\left( PDP^{-1}\rp^n \\[.5em] &= PDP^{-1}\,PDP^{-1}\,\dots PDP^{-1}\\[.5em] &=PD^nP^{-1} \\[.5em] &=\lp\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\enar\right) \lp\begin{array}{cc}1&0\\0&3^n\enar\right) \dfrac12\lp\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\enar\right) \\[1em] &=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1+3^n & 1-3^n\\1-3^n&1+3^n \enar\rp\\[1em] &=\dfrac12E+3^nF \enar\]

avec les matrices $E=\lp\begin{array}{cc}1&1\\1&1\enar\rp$ et $F=\lp\begin{array}{cc}1&-1\\-1&1\enar\rp$
On trouve alors enfin,
\[\begin{array}{ll}\exp(At) &=\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac1{n!}A^nt^n \\[1.4em] &=\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{t^n}{n!}\lp\dfrac12E+3^nF\right) \\[1.6em] &=\dsp\lp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{t^n}{n!}\rp\dfrac12E +\lp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{3^nt^n}{n!}\right) F \\[1.6em] &=\dfrac12e^tE+e^{3t}F \enar\]

puis en revenant aux solutions du système différentiel: $X=\exp(At)X(0)$ avec $X(0)=\lp\begin{array}{c}x(0)\\y(0)\enar\rp=\lp\begin{array}{c}1\\2\enar\rp$, donc $X=\dfrac12e^tE\lp\begin{array}{c}1\\2\enar\rp+E^{3t}F\lp\begin{array}{c}1\\2\enar\rp$ soit finalement,
\[\la\begin{array}{ll} x(t)&=\dfrac32e^t-e^{3t}\\ y(t)&=\dfrac32e^t+e^{3t} \enar\right.\]