Colles de mathématiques
Système d'équations différentielles
Sujet
Résoudre le système d'équations différentielles:
x'
=
2x − y
y'
=
−x + 2y
avec
x(0) = 1 et y(0) = 2.
Corrigé de l'exercice de maths: Équations différentielles - Diagonalisation
Correction
On pose
et ,
alors
et le système s'écrit
.
On sait alors que la solution de cette équation différentielle est .
Il reste donc à calculer l'exponentielle de matrice:
et donc les puissances de la matrice .
On peut à cette fin diagonaliser (qui est une matrice symétrique réelle, donc en particulier bien diagonalisable).
Le polynôme caractéristique de est
Ainsi, admet deux valeurs propres 1 et 3.
Sous-espace propre associé à la valeur propre 1: . Le sous-espace propre est de dimension 1, engendré par .
Sous-espace propre associé à la valeur propre 3: . Le sous-espace propre est de dimension 1, engendré par .
On a alors avec la matrice diagonale et la matrice de passage et son inverse .
On obtient alors,
avec les matrices et
On trouve alors enfin,
puis en revenant aux solutions du système différentiel: avec , donc soit finalement,
On sait alors que la solution de cette équation différentielle est .
Il reste donc à calculer l'exponentielle de matrice:
et donc les puissances de la matrice .
On peut à cette fin diagonaliser (qui est une matrice symétrique réelle, donc en particulier bien diagonalisable).
Le polynôme caractéristique de est
Ainsi, admet deux valeurs propres 1 et 3.
Sous-espace propre associé à la valeur propre 1: . Le sous-espace propre est de dimension 1, engendré par .
Sous-espace propre associé à la valeur propre 3: . Le sous-espace propre est de dimension 1, engendré par .
On a alors avec la matrice diagonale et la matrice de passage et son inverse .
On obtient alors,
avec les matrices et
On trouve alors enfin,
puis en revenant aux solutions du système différentiel: avec , donc soit finalement,