Colles de mathématiques
Variante du théorème des accroissements finis
Sujet
Soit f une fonction définie et continue sur
[a, b],
dérivable sur
]a, b[, telle que f (a) = f (b) = 0,
et soit α à l'extérieur de [a, b].
En introduisant la fonction g définie sur [a, b] par g(x) = f (x)x − α, montrer qu'il existe c dans ]a, b[ tel que f '(c) = f (c)c − α.
Donner une interprétation géométrique de la fonction g et énoncer le résultat obtenu sous forme géométrique.
En introduisant la fonction g définie sur [a, b] par g(x) = f (x)x − α, montrer qu'il existe c dans ]a, b[ tel que f '(c) = f (c)c − α.
Donner une interprétation géométrique de la fonction g et énoncer le résultat obtenu sous forme géométrique.
Corrigé de l'exercice de maths: Théorèmes de Rolle & accroissements finis
Correction
g est, comme f, continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[,
avec, comme pour f aussi,
g (a) = g (b) = 0.
Ainsi, d'après le théorème de Rolle, il existe c∈]a, b[ tel que
![\[g'(c)=\dfrac{f'(x)}{c-\alpha}-\dfrac{f(c)}{(c-\alpha)^2}=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2_c/8.png)
soit exactement, f '(c) = f (c)c − α.
Graphiquement, f '(c) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse c, tandis que f (c)c − α est le coefficient directeur de la droite passant par A(α, 0) et C(c, f (c)).
Graphiquement, on peut tracer une tangente à la courbe de f en partant du point A.
(3.3,3.56)\rput(3.3,-.3){$c$}
\rput(3.2,3.7){$C$}
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2_c/18.png)
Ainsi, d'après le théorème de Rolle, il existe c∈]a, b[ tel que
soit exactement, f '(c) = f (c)c − α.
Graphiquement, f '(c) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse c, tandis que f (c)c − α est le coefficient directeur de la droite passant par A(α, 0) et C(c, f (c)).
Graphiquement, on peut tracer une tangente à la courbe de f en partant du point A.