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Colles de mathématiques

Variante du théorème des accroissements finis


Sujet


Soit f une fonction définie et continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, telle que f (a) = f (b) = 0, et soit α à l'extérieur de [a, b].
En introduisant la fonction g définie sur [a, b] par g(x) = f (x)x − α, montrer qu'il existe c dans ]a, b[ tel que f '(c) = f (c)c − α.
Donner une interprétation géométrique de la fonction g et énoncer le résultat obtenu sous forme géométrique.

Corrigé de l'exercice de maths: Théorèmes de Rolle & accroissements finis

Correction


g est, comme f, continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, avec, comme pour f aussi, g (a) = g (b) = 0.
Ainsi, d'après le théorème de Rolle, il existe c∈]a, b[ tel que
\[g'(c)=\dfrac{f'(x)}{c-\alpha}-\dfrac{f(c)}{(c-\alpha)^2}=0\]

soit exactement, f '(c) = f (c)c − α.

Graphiquement, f '(c) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse c, tandis que f (c)c − α est le coefficient directeur de la droite passant par A(α, 0) et C(c, f (c)).
Graphiquement, on peut tracer une tangente à la courbe de f en partant du point A.
\[\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,6)
\psline{->}(-1,0)(8,0)
\psline{->}(-.5,-1)(-.5,5)
\psplot{2}{6}{-1 x -4 add 2 exp mul 4 add}
\psline(2,.1)(2,-.1)\rput(2,-.3){$a$}
\psline(6,.1)(6,-.1)\rput(6,-.3){$b$}
\psline(.5,.1)(.5,-.1)\rput(.5,-.3){$\alpha$}\rput(.4,.3){$A$}
\psline(.5,0)(5.25,6)
\psline[linestyle=dashed](3.3,0)(3.3,3.56)\rput(3.3,-.3){$c$}
\rput(3.2,3.7){$C$}
\end{pspicture}\]