Colles de mathématiques

Soit (u_n) et (v_n) deux suites telles que,

• pour tout entier n, on a u_n<v_n
• (u_n) est croissante
• (v_n) converge vers un réel l.

Montrer que (u_n) converge. Que peut-on dire de sa limite ?

Comme (v_n) converge vers l, il existe un rang n₀ tel que, pour tout entier n≥n₀, v_n< l + 1.
On a donc, pour tout entier n≥n₀, u_n<v_n< l + 1 et ainsi (v_n) est majorée.
Comme de plus (u_n) est croissante, on en déduit que (u_n) converge vers un réel l', limite dont on peut seulement dire ici que l'≤l.