Colles de mathématiques
Variante du théorème de convergence monotone bornée
Sujet
Soit
et
deux suites telles que,
Montrer que
converge.
Que peut-on dire de sa limite ?
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex2/1.png)
![$(v_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex2/2.png)
- pour tout entier
,
-
est croissante
-
converge vers un réel
.
Montrer que
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex2/8.png)
Corrigé de l'exercice de maths: Suites - Limite
Correction
Comme
converge vers
,
il existe un rang
tel que,
pour tout entier
,
.
On a donc, pour tout entier
,
et ainsi
est majorée.
Comme de plus
est croissante, on en déduit que
converge vers un réel
,
limite dont on peut seulement dire ici que
.
![$(v_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex2_c/1.png)
![$l$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex2_c/2.png)
![$n_0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex2_c/3.png)
![$n\geqslant n_0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex2_c/4.png)
![$v_n<l+1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex2_c/5.png)
On a donc, pour tout entier
![$n\geqslant n_0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex2_c/6.png)
![$u_n<v_n<l+1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex2_c/7.png)
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex2_c/8.png)
Comme de plus
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex2_c/9.png)
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex2_c/10.png)
![$l'$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex2_c/11.png)
![$l'\leqslant l$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex2_c/12.png)