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Colles de mathématiques

Variation et maximum d'une loi de Poisson


Sujet


Soit X une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre λ. On note pk = P(X = k).
  1. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur λ pour que la suite (pk) soit décroissante.
  2. Quel est le maximum de la suite (pk) ?

Corrigé de l'exercice de maths: Variables aléatoires discrètes

Correction


On a pk = P(X = k) = e−λλkk! .
  1. (pk) est décroissante si et seulement si pk+1≤pk pour tout k.
    Or,
    \[\begin{array}{ll} p_{k+1}\leqslant p_k &\iff e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!} < e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!} \\[1em] &\iff \dfrac{\lambda}{k+1}<1\\[1.2em] &\iff \lambda<k+1 \enar\]

    Cette inégalité doit être vraie pour tout entier k; on doit donc avoir λ≤1. La suite est donc décroissante lorsque λ≤1.
  2. D'après le résultat précédent, si λ≤1, la suite (pk) est monotone et décroissante. Son maximum est donc p0.
    Maintenant, si λ>1, alors (pk) est croissante jusqu'à un certain rang, qu'il s'agit de déterminer. Toujours d'après le calcul précédent, on a pk+1≥pk ⇔ λ≥k+1 et la suite (pk) est donc croissante tant que k≤λ−1.
    Pour λ>1, le maximum est donc atteint en la partie entière de λ.