Colles de mathématiques
Variation et maximum d'une loi de Poisson
Sujet
Soit X une variable aléatoire suivant la loi de Poisson
de paramètre λ.
On note pk = P(X = k).
- Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur λ pour que la suite (pk) soit décroissante.
- Quel est le maximum de la suite (pk) ?
Corrigé de l'exercice de maths: Variables aléatoires discrètes
Correction
On a
pk = P(X = k)
= e−λλkk! .
- (pk) est décroissante si et seulement si
pk+1≤pk
pour tout
k.
Or,
Cette inégalité doit être vraie pour tout entier k; on doit donc avoir λ≤1. La suite est donc décroissante lorsque λ≤1. - D'après le résultat précédent, si λ≤1,
la suite (pk) est monotone et décroissante.
Son maximum est donc p0.
Maintenant, si λ>1, alors (pk) est croissante jusqu'à un certain rang, qu'il s'agit de déterminer. Toujours d'après le calcul précédent, on a pk+1≥pk ⇔ λ≥k+1 et la suite (pk) est donc croissante tant que k≤λ−1.
Pour λ>1, le maximum est donc atteint en la partie entière de λ.