Colles de mathématiques
Avec la trace de matrices
Oral ESCP - filière B/L, 2021
Sujet
Oral ESCP, BL - 2021
Dans cet exercice,
est un entier supérieur ou égal à 2 et
.
Pour toute matrice
, on pose
.
Dans cet exercice,


Pour toute matrice


-
- Montrer que l'application
est linéaire.
- Montrer que
.
Dans la suite de l'exercice, on note:
et
- Montrer que l'application
- Montrer que
et
sont supplémentaires dans
.
Pourde
, on note
.
- Montrer que
est un sous-espace vectoriel de
tel que
.
- Soit
. Montrer que
.
- Déterminer
en discutant suivant les valeurs de
.
Corrigé de l'exercice de maths: Matrices - Espaces vectoriels - Annales ESCP - B/L
Correction
Oral ESCP, BL - 2021
-
- En détaillant par exemple des matrices générales, on a directement que
.
- Par transposition, les éléments diagonaux d'une matrice sont invariants, et donc, en particulier, une matrice et sa transposée ont la même trace.
- En détaillant par exemple des matrices générales, on a directement que
- Soit
.
On pose
et
telles queet
, c'est-à-dire que
et
, et que
On a donc montré la somme
Il reste à montrer que cette somme est directe. Si, alors
et
, d'où
et donc
.
Ainsi l'intersection de ces deux sous-espaces est réduit à la matrice nulle, et on en déduit que la somme est directe:
- Par linéarité de la trace et de la tansposition,
est un sous-espace vectoriel de
:
- la matrice nulle appartient à
- Pour
,
de
, donc
et
A, et un réel
, on a
d'où
De plus, si, alors
donc
, et par ailleurs ces éléments diagonaux sont nuls, d'où
. Ainsi,
.
On en conclut que.
- la matrice nulle appartient à
- Si
, alors
et donc, en appliquant la trace, qui est linéaire,
- La relation précédente se réécrit
et doncest une valeur particulière.
- si
la relation de la question précédente est triviale, et il faut encore distinguer: si
n'est pas symétrique, il n'y a pas de solution et
, tandis que si
est symétrique, alors
pour tout
.
- si
, alors on doit avoir
et donc, par définition de
, on a
, d'où
- si