Colles de mathématiques
Avec la trace de matrices
Oral ESCP - filière B/L, 2021
Sujet
Oral ESCP, BL - 2021
Dans cet exercice, est un entier supérieur ou égal à 2 et .
Pour toute matrice , on pose .
Dans cet exercice, est un entier supérieur ou égal à 2 et .
Pour toute matrice , on pose .
-
- Montrer que l'application est linéaire.
- Montrer que .
Dans la suite de l'exercice, on note:
et
- Montrer que et sont supplémentaires dans .
Pour de , on note . - Montrer que est un sous-espace vectoriel de tel que .
- Soit . Montrer que .
- Déterminer en discutant suivant les valeurs de .
Corrigé de l'exercice de maths: Matrices - Espaces vectoriels - Annales ESCP - B/L
Correction
Oral ESCP, BL - 2021
-
- En détaillant par exemple des matrices générales, on a directement que .
- Par transposition, les éléments diagonaux d'une matrice sont invariants, et donc, en particulier, une matrice et sa transposée ont la même trace.
- Soit .
On pose
et
telles que et , c'est-à-dire que et , et que
On a donc montré la somme
Il reste à montrer que cette somme est directe. Si , alors et , d'où et donc .
Ainsi l'intersection de ces deux sous-espaces est réduit à la matrice nulle, et on en déduit que la somme est directe:
- Par linéarité de la trace et de la tansposition, est un sous-espace vectoriel de :
- la matrice nulle appartient à
- Pour , de ,
donc et A,
et un réel , on a
d'où
De plus, si , alors donc , et par ailleurs ces éléments diagonaux sont nuls, d'où . Ainsi, .
On en conclut que .
- Si , alors
et donc, en appliquant la trace, qui est linéaire,
- La relation précédente se réécrit
et donc est une valeur particulière.- si la relation de la question précédente est triviale, et il faut encore distinguer: si n'est pas symétrique, il n'y a pas de solution et , tandis que si est symétrique, alors pour tout .
- si , alors on doit avoir et donc, par définition de , on a , d'où