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Colles de mathématiques

Calcul matriciel - Inverse


Sujet


Soit $A=\lp\begin{array}{ccc}0&1&-1\\-1&2&-1\\1&-1&2\enar\rp$. Calculer $A^2-3A$.
En déduire que $A$ est inversible, et calculer $A^{-1}$.

Corrigé de l'exercice de maths: Matrices

Correction


$A^2=AA =\lp\begin{array}{ccc}0&1&-1\\-1&2&-1\\1&-1&2\enar\right) \lp\begin{array}{ccc}0&1&-1\\-1&2&-1\\1&-1&2\enar\right) =\lp\begin{array}{ccc}-2&3&-3\\-3&4&-3\\3&-3&4\enar\rp$,
et donc, $A^2-3A=\lp\begin{array}{ccc}-2&0&0\\0&-2&0\\0&0&-2\enar\rp=-2I$.
On a donc aussi trouvé que $\dfrac12\left( -A^2+3A\rp=I$, soit aussi, $A\dfrac12\lp-A+3I\rp=\dfrac12\lp-A+3I\rp A=I$,
ce qui montre que $A$ est inversible avec $A^{-1}=\dfrac12\lp-A+3I\rp$.