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Colles de mathématiques

Calcul matriciel - Puissance n-ième


Sujet


Soit $A=\lp\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\enar\rp$ et $B=A-I$.
Calculer $B^n$ pour tout $n\in\N$. En déduire $A^n$.

Corrigé de l'exercice de maths: Matrices

Correction


$B=\lp\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\enar\right)$,    $B^2=\lp\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\enar\rp$,    $B^3=\lp\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\enar\rp.$.
On en déduit alors que, pour tout $n\geq 3$, on a $B^n=B^3B^{n-3}=0$.
On a alors $A=I+B$ et, comme $I$ et $B$ commutent ($IB=BI=B$), on peut utiliset le binôme de Newton:
\[A^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}I^{n-k}B^k =I^{n}+\binom{n}{1}I^{n-1}B+\binom{n}{2}I^{n-2}B^2\]

soit $\displaystyle A^n=I+nB+\frac{n(n-1)}{2}B^2= \lp\begin{array}{ccc}1&n&\frac{n(n-1)}2\\0&1&n\\0&0&1\enar\rp$.