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Colles de mathématiques

Cauchy-Schwarz et une application (bis)


Sujet


Montrer que pour tous réels, a1, a2, a3, et a4 on a | a1 + a2 + a3 + a4| ≤a12 + a22 + a32 + a42

Corrigé de l'exercice de maths: Produit scalaire dans Rn - Espaces euclidiens

Correction


L'inégalité de inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit $\langle x , y \rangle|\leqslant\|x\|.\|y\|$.
Dans $E=\R^4$ avec le produit scalaire canonique, et $x=\left( x_1, x_2, x_3, x_4\rp$ et $y=\left( y_1, y_2, y_4, y_4\rp$, cette inégalité s'écrit donc
\[\left|\sum_{i=1}^4x_iy_i\right|\leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^4x_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^4y_i^2}\]

Maintenant, avec le vecteur $y=(1,1,1,1)$, on obtient
\[\left|\sum_{i=1}^4x_i\right|\leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^4x_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^41} \]

ce qui, avec $\sqrt{\sum_{i=1}^41}=\sqrt{4}=2$, est l'inégalité recherchée.