Colles de mathématiques
Convergence de Série harmonique alternée
Sujet
On considère la suite définie par la somme
.
- En calculant les premiers termes de cette suite, montrer qu'elle n'est pas monotone.
- On pose et , Montrer que ces suites sont adjacentes. Que peut-on en conclure ?
Corrigé de l'exercice de maths: Suites - Sommes
Correction
- On a ,
et .
Ainsi, mais . La suite n'est pas ni croissante, ni décroissante.
-
ce qui montre que est décroissante.
De même,
ce qui montre que la suite est croissante.
Enfin, et donc, .
On déduit des trois résultats prcédents que et sont adjacentes et que, en particulier ces deux suites sont convergentes vers la même limite .
De plus, comme et sont les deux sous-suites extraites de de rangs respectivement pairs et impairs, on en déduit que converge aussi vers la même limite.