Colles de mathématiques
Convergence de Série harmonique alternée
Sujet
On considère la suite
définie par la somme
.


- En calculant les premiers termes de cette suite, montrer qu'elle n'est pas monotone.
- On pose
et
, Montrer que ces suites sont adjacentes. Que peut-on en conclure ?
Corrigé de l'exercice de maths: Suites - Sommes
Correction
- On a
,
et
.
Ainsi,mais
. La suite n'est pas ni croissante, ni décroissante.
-
ce qui montre queest décroissante.
De même,
ce qui montre que la suiteest croissante.
Enfin,et donc,
.
On déduit des trois résultats prcédents queet
sont adjacentes et que, en particulier ces deux suites sont convergentes vers la même limite
.
De plus, commeet
sont les deux sous-suites extraites de
de rangs respectivement pairs et impairs, on en déduit que
converge aussi vers la même limite.