Si on arrive à majorer "convenablement" par ,
on aura alors par l'inégalité triangulaire
D'après ce calcul, il suffit donc d'arriver à majorer par , ce qui est possible d'après l'hypothèse sur la limite de en 0.
Plus précisément, soit , alors il existe tel que, pour tout , .
Pour tout , soit donc tel que , alors,
pour tout et tout , on a
Le premier calcul ci-dessus permet alors de conclure que,
On déduit de ce résultat que
Comme la fonction est dérivable en 0,
on a l'approximation affine (ou DL d'ordre 1),
On a alors en utilisant ce développement,
D'après la question précédente, la dernière somme tend vers 0, et on a donc,