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Colles de mathématiques

Discrétisation d'une équation différentielle

Oral ENS Ulm, filière B/L, 2021



Exercice de maths: Annales ENS Ulm - B/L

Sujet


On considère deux réels $a>0$ et $y_0\in\R$ fixés, ainsi qu'une fonction $f:\R\to\R$ qui vérifie les propriétés suivantes:
\[\la\begin{array}{l} \forall t\in\R, f'(t)=-af(t)\\ f(0)=y_0 \enar\right.\]

  1. On pose $g:t\in\R\mapsto f(t)e^{at}$.
    1. Calculer la dérivée $g'$ de $g$.
    2. En déduire l'expression de $f$.

  2. On fixe un réel $\delta>0$ et on introduit la suite $(u_n)_{n\in\N}$ définie par
    \[u_0=y_0 \qquad\text{et}\qquad \forall n\geqslant0,\ u_{n+1}=u_n-a\delta u_n\]

    1. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $u_n\to0$ lorsque $n\to+\infty$.
    2. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $u_n>0$ pour tout $n\in\N$.

  3. On suppose dorénavant que cette dernière condition est vérfiée et on considère la suite $(e_n)_{n\in\N}$ définie par $e_n=u_n-f(n\delta)$.
    1. Montrer que $e_{n+1}=(1-a\delta)e_n+a\dsp\int_{n\delta}^{(n+1)\delta}\left( f(u)-f(n\delta)\rp\,du$.
    2. En déduire que $\left|e_{n+1}\right|\leqslant(1-a\delta)\left|e_n\right|+\dfrac{ay_0\delta^2}2$.

Correction