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Colles de mathématiques

Exponentielle et logarithme

Oral HEC - filière B/L, 2022



Exercice de maths: Variables aléatoires continues - Annales HEC - B/L

Sujet


oral HEC, BL - 2022
  1. Question de cours : Fonction de répartition et densité d'une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
  2. $\lambda$ désigne un réel strictement positif. On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par:
    \[h(x)=\la\begin{array}{cll}\lambda^2xe^{-\lambda x}&\text{si}&x\geqslant0 \\0 &\text{si} &x<0\enar\right.\]

    1. Montrer que $h$ peut être considérée comme la densité de probabilité d'une variable aléatoire $X$.
    2. Montrer que $X$ admet une espérance et la calculer.

  3. Dans cette question, on considère une variable aléatoire $Y$ de densité $f$, nulle sur $]-\infty; 0[$, continue sur $[0;+\infty[$ et strictement positive sur $[0;+\infty[$. On note alors $F$ la fonction de répartition de $Y$.
    1. Justifier que pour tout réel $x$ , on a $1 - F (x) > 0$.

      On définit alors la fonction $g$ par:
      \[g(x) = \la\begin{array}{cll}-f(x)\ln(1-F(x))&\text{si}&x\geqslant0\\0&\text{si}&x<0\enar\right.\]

    2. Montrer que $g$ peut être considérée comme la densité d'une variable aléatoire $Z$.

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