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Colles de mathématiques

Limite avec équivalents de ln, racine et exponentielle


Sujet


Étudier la limite de
$u_n=\dfrac{\sqrt{1+e^{-n}}-1}{\ln\lp1+\dfrac1{3^n}\right)}$

Corrigé de l'exercice de maths: Suites - Limite - Équivalents - Développements limités

Correction


Comme $e^{-n}\longrightarrow0$, on a
\[\sqrt{1+e^{-n}}\sim1+\dfrac12e^{-n}\]

et donc pour le numérateur:
\[\sqrt{1+e^{-n}}-1\sim\dfrac12e^{-n}\]

Pour le dénominateur, on a
\[\ln\lp1+\dfrac1{3^n}\rp\sim\dfrac1{3^n}\]

et donc
\[u_n\sim\dfrac123^ne^{-n}=\dfrac12\lp\dfrac3e\rp^n\]

Comme $e<3$, donc que $\dfrac3e>1$ on a alors $u_n\longrightarrow+\infty$.