Colles de mathématiques
Logarithme d'une loi uniforme
Sujet
Soit U une variable aléatoire de loi uniforme sur [0; 1].
Démontrer que la variable aléatoire X = − ln U suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.
Démontrer que la variable aléatoire X = − ln U suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.
Corrigé de l'exercice de maths: Variables aléatoires continues
Correction
On calcule la fonction de répartition de
.
On a
,
puisque la fonction
est décroissante. On a donc
![\[P(X\leqslant x)=P(U\geq \exp(-x))\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Loi-uniforme-ln_c/4.png)
Si
, alors
et donc
.
Si
, alors
et donc, puisque
suit une loi uniforme à valeurs dans
,
![\[P(X\leqslant x)=1-\exp(-x)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Loi-uniforme-ln_c/12.png)
et on reconnait la fonction de répartition d'une loi exponentielle de paramètre 1 (ou en dérivant pour retrouver la densité).
![$X$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Loi-uniforme-ln_c/1.png)
![$X\leqslant x \iff U\geq \exp(-x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Loi-uniforme-ln_c/2.png)
![$x\mapsto \exp(-x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Loi-uniforme-ln_c/3.png)
![\[P(X\leqslant x)=P(U\geq \exp(-x))\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Loi-uniforme-ln_c/4.png)
Si
![$x\leqslant0$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Loi-uniforme-ln_c/5.png)
![$\exp(-x)\geqslant1$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Loi-uniforme-ln_c/6.png)
![$P(X\leqslant x)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Loi-uniforme-ln_c/7.png)
Si
![$x\geqslant 0$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Loi-uniforme-ln_c/8.png)
![$\exp(-x)\in[0,1]$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Loi-uniforme-ln_c/9.png)
![$U$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Loi-uniforme-ln_c/10.png)
![$[0,1]$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Loi-uniforme-ln_c/11.png)
![\[P(X\leqslant x)=1-\exp(-x)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Loi-uniforme-ln_c/12.png)
et on reconnait la fonction de répartition d'une loi exponentielle de paramètre 1 (ou en dérivant pour retrouver la densité).