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Colles de mathématiques

Racine carrée d'une loi de Pareto



Exercice de maths: Variables aléatoires continues

Sujet


Soit $a$ un réel et
\[f:\R\to\R, \, x\mapsto\la\begin{array}{cl} 0 &\text{si } x\leqslant1 \\ \dfrac{a}{x^3} &\text{sinon}\enar\right.\]


  1. Déterminer $a$ pour que $f$ soit une densité probabilité.
  2. Soit $X$ une variable aléatoire admettant $f$ pour densité. Déterminer la fonction de répartition de $X$.
  3. Étudier si $X$ admet une espérance et une variance. Si oui, les calculer.
  4. Soit $Y=\sqrt{X}$. Déterminer une densité de $Y$.
  5. Étudier si $Y$ admet une espérance et une variance. Si oui, les calculer.

Correction