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Colles de mathématiques

Matrice d'une application linéaire dans des bases pas canoniques


Sujet


Soit $u$ l'application linéaire de $\mathbb R^3$ dans $\mathbb R^2$ dont la matrice dans leur base canonique respective est
\[A=\lp\begin{array}{ccc} 2&-1&1\\ 3&2&-3\enar\rp.\]

On appelle $(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\R^3$ et $(f_1,f_2)$ celle de $\R^2$.
On pose
\[e_1'=e_2+e_3,\ e_2'=e_3+e_1,\ e_3'=e_1+e_2\]

et
\[f_1'=\dfrac12(f_1+f_2),\ f_2'=\dfrac12(f_1-f_2)\]

  1. Montrer que $(e_1',e_2',e_3')$ est une base de $\R^3$ puis que $(f_1',f_2')$ est une base de $\R^2$.
  2. Quelle est la matrice de $u$ dans ces nouvelles bases?

Corrigé de l'exercice de maths: Applications linéaires - Matrices - Espaces vectoriels

Correction


  1. Dans chaque cas, le nombre de vecteurs est égal à la dimension de l'espace, et il suffit donc de montrer que ces deux familles sont libres.
    Les vecteurs $f_1'$ et $f_2'$ ne sont pas colinéaires, donc la famille est libre.
    Pour $(e_1',e_2',e_3')$, soit $ae_1'+be_2'+ce_3'=0$, alors on
    \[\begin{array}{ll}(b+c)e_1+(a+c)e_2+(a+b)e_3=0 &\iff\la\begin{array}{rcl}b+c&=&0\\a+c&=&0\\a+b&=&0\enar\right.\\[2em] &\iff a=b=c=0.\enar\]

    et donc, la famille $(e_1',e_2',e_3')$ est libre et donc une base de $\R^3$.
  2. Notons $P$ la matrice de passage de $(e_1,e_2,e_3)$ à $(e_1',e_2',e_3')$ et $Q$ la matrice de passage de $(f_1,f_2)$ à $(f_1',f_2')$. Alors on a :
    \[P=\lp\begin{array}{ccc}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\enar\rp\]

    et
    \[Q=\frac{1}{2}\lp\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\enar\rp\]

    Si $B$ est la matrice de $u$ dans les nouvelles bases, alors la formule du changement de base nous dit que $B=Q^{-1}AP$. Or,
    \[Q^{-1}=\lp\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\enar\rp\]

    de sorte que
    \[B=\lp\begin{array}{ccc}-1&3&6\\1&3&-4\enar\rp\]