Colles de mathématiques
Matrice d'une application linéaire dans des bases pas canoniques
Sujet
Soit
l'application linéaire de
dans
dont la matrice dans leur base
canonique respective est
![\[A=\lp\begin{array}{ccc} 2&-1&1\\ 3&2&-3\enar\rp.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/exALchgtBases2/4.png)
On appelle
la base canonique de
et
celle de
.
On pose
![\[e_1'=e_2+e_3,\ e_2'=e_3+e_1,\ e_3'=e_1+e_2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/exALchgtBases2/9.png)
et
![\[f_1'=\dfrac12(f_1+f_2),\ f_2'=\dfrac12(f_1-f_2)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/exALchgtBases2/10.png)



![\[A=\lp\begin{array}{ccc} 2&-1&1\\ 3&2&-3\enar\rp.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/exALchgtBases2/4.png)
On appelle




On pose
![\[e_1'=e_2+e_3,\ e_2'=e_3+e_1,\ e_3'=e_1+e_2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/exALchgtBases2/9.png)
et
![\[f_1'=\dfrac12(f_1+f_2),\ f_2'=\dfrac12(f_1-f_2)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/exALchgtBases2/10.png)
- Montrer que
est une base de
puis que
est une base de
.
- Quelle est la matrice de
dans ces nouvelles bases?
Corrigé de l'exercice de maths: Applications linéaires - Matrices - Espaces vectoriels
Correction
- Dans chaque cas, le nombre de vecteurs est égal
à la dimension de l'espace, et il suffit donc de montrer que ces deux familles sont libres.
Les vecteurset
ne sont pas colinéaires, donc la famille est libre.
Pour, soit
, alors on
et donc, la familleest libre et donc une base de
.
- Notons
la matrice de passage de
à
et
la matrice de passage de
à
. Alors on a :
et
Siest la matrice de
dans les nouvelles bases, alors la formule du changement de base nous dit que
. Or,
de sorte que