Colles de mathématiques
Matrice d'une projection orthogonale - Distance à un sous-espace
Sujet
Soit E = R4 muni de son produit scalaire canonique et de la base canonique
ℬ = (e1, e2, e3, e4) .
On considère G le sous-espace vectoriel défini par les équations
On considère G le sous-espace vectoriel défini par les équations
x1 + x2
= 0
x3 + x4
= 0
- Déterminer une base orthonormale de G.
- Déterminer la matrice dans ℬ de la projection orthogonale pG sur G.
- Soit x = (x1, x2, x3, x4) un élément de E. Déterminer la distance de x à G.
Corrigé de l'exercice de maths: Produit scalaire dans Rn - Espaces euclidiens - Projecteurs - Matrices
Correction
- On commence par trouver une base de G. Mais on a
On en déduit queest une base de G. Ces deux vecteurs sont déjà orthogonaux, il suffit de les normaliser. Si on pose
,
, alors
est une base orthonormale de
.
- On calcule
par
On en déduit que la matrice dedans la base canonique est
- On sait que
.
Avec, on a
et donc
Il vient