Colles de mathématiques

Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi géométrique de paramètre p∈]0;1[. On pose Z = min(X, Y) et q = 1 − p. Soit en outre n un entier strictement positif.

1. Calculer P(X≥n).
2. Calculer P(Z≥n). En déduire P(Z = n). Quelle est la loi de Z ?
3. Les variables X et Z sont-elles indépendantes?

1. L'événement X≥n s'écrit comme réunion (dénombrable et disjointe) des événéments élémentaires X = k, k≥n. On a donc
   P(X≥n) =  ∑_k≥nP(X = k) =  ∑_k≥nq^k−1p = qⁿ⁻¹p1 − q = qⁿ⁻¹
2. On a Z≥n si et seulement si X≥n et Y≥n. Ces deux événements sont indépendants, et donc
   P(Z≥n) = P(X≥n) P(Y≥n) = q²ⁿ⁻²
   Or,
   P(Z = n) = P(Z≥n) − P(Z≥n+1) = q²ⁿ⁻² − q²ⁿ = q²ⁿ⁻² (1 − q²)
   Ainsi, Z suit une loi géométrique de paramètre 1 − q².
3. Remarquons que les événements (X = n)∩(Z≥n) et (X = n)∩(Z = n) sont égaux et égaux à (X = n)∩(Y≥n). Si X et Z étaient indépendantes, alors on aurait
   P((X = n)∩(Z≥n)) = P((X = n)∩(Y≥n))
   et
   P((X = n)∩(Z = n)) = P((X = n)∩(Y≥n))
   En particulier, on devrait donc avoir P(Z = n) = P(Z≥n), ce qui n'est pas le cas. X et Z ne sont donc pas des variables aléatoires indépendantes.