Colles de mathématiques
Minimum d'un couple de variables géométriques
Sujet
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi géométrique de paramètre p∈]0;1[. On pose Z = min(X, Y) et q = 1 − p. Soit en outre n un entier strictement positif.
- Calculer P(X≥n).
- Calculer P(Z≥n). En déduire P(Z = n). Quelle est la loi de Z ?
- Les variables X et Z sont-elles indépendantes?
Corrigé de l'exercice de maths: Couples de variables aléatoires
Correction
- L'événement X≥n s'écrit comme réunion (dénombrable et disjointe) des événéments élémentaires X = k, k≥n. On a donc
P(X≥n) = ∑k≥nP(X = k) = ∑k≥nqk−1p = qn−1p1 − q = qn−1
- On a Z≥n si et seulement si X≥n et Y≥n.
Ces deux événements sont indépendants, et donc
P(Z≥n) = P(X≥n) P(Y≥n) = q2n−2Or,P(Z = n) = P(Z≥n) − P(Z≥n+1) = q2n−2 − q2n = q2n−2 (1 − q2)Ainsi, Z suit une loi géométrique de paramètre 1 − q2.
- Remarquons que les événements (X = n)∩(Z≥n) et (X = n)∩(Z = n) sont égaux et égaux à (X = n)∩(Y≥n).
Si X et Z étaient indépendantes, alors on aurait
P((X = n)∩(Z≥n)) = P((X = n)∩(Y≥n))etP((X = n)∩(Z = n)) = P((X = n)∩(Y≥n))En particulier, on devrait donc avoir P(Z = n) = P(Z≥n), ce qui n'est pas le cas. X et Z ne sont donc pas des variables aléatoires indépendantes.