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Colles de mathématiques

Probabilité de naissances


Sujet


On suppose que le nombre N d'enfants dans une famille suit une loi de Poisson de paramètre λ≥0. On suppose qu'à chaque naissance, la probabilité que l'enfant soit une fille est p∈]0,1[ et celle que ce soit un garçon est q = 1−p. On suppose aussi que les sexes des naissances successives sont indépendants. On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de filles par familles, et Y celle du nombre de garçons.
  1. Déterminer la loi conjointe du couple (N, X).
  2. En déduire la loi de X et celle de Y.

Corrigé de l'exercice de maths: Couples de variables aléatoires

Correction


  1. Pour n naissances, les lois de X et Y sont des lois binomiales de paramètres n et respectivement p et q.
    On en déduit que
    \[\begin{array}{ll}P(N=n,X=k)&=P(X=k|N=n)P(N=n)\\[.6em] &=\la\begin{array}{cl}\dsp\binom{n}{k} p^k q^{n-k}e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}&\text{ si } k\leqslant n\\[1em] 0&\text{ sinon}\enar\right. \enar\]

  2. On déduit la loi marginale de X à partir de la loi du couple :
    \[\begin{array}{lcl} P(X=k)&=&\dsp\sum_{n\geq k} P(X=k,N=n)\\ &=&\dsp\sum_{n\geq k}\frac{e^{-\lambda}\lambda^np^k q^{n-k}}{k!(n-k)!}\\[1.2em] &=&\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^k p^k}{k!}\dsp\sum_{n=k}^{+\infty}\dfrac{\lambda^{n-k}q^{n-k}}{(n-k)!}\\[1.2em] &=&\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^k p^k}{k!}\dsp\sum_{m=0}^{+\infty}\dfrac{\lambda^{m}q^{m}}{m!}\\[1.2em] &=&\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^k p^k}{k!}e^{\lambda q}\\[1em] &=&\dfrac{e^{-\lambda p}(\lambda p)^k}{k!} \enar\]


    Ainsi, X suit une loi de Poisson de paramètre λp. De même, Y suit une loi de Poisson de paramètre λq.