Colles de mathématiques
Probabilités avec une densité
Sujet
Soit la fonction

- Déterminer
pour cette fonction soit la densité de probabilité d'une variable aléatoire
.
- Déterminer la fonction de répartition de
.
- Calculer les probabilités
et
.
Corrigé de l'exercice de maths: Variables aléatoires continues
Correction
-
-
est continue et dérivable sur
, sauf en un nombre fini de points, ici sauf en 2.
-
est positive sur
.
- Il reste à montrer que
converge et vaut 1.
On a
aveccontinue sur
et donc il suffit d'étudier la convergence de l'intégrale généralisée en
. On connaît une primitive de cette fonction
et donc l'intégrale est convergente avec
et on doit donc avoirpour que la valeur de cette intégrale soit 1.
-
- Le calcul précédent donne aussi la fonction de répartition.
Pour, on a
, et pour
,
- En utilisant la fonction de répartition, on a
soit, avec,
De même,