Colles de mathématiques
Racines d'un trinome aléatoire
Sujet
On considère l'équation
où le coefficient
est une variable aléatoire qui suit la loi normale
.
Calculer la probabilité que cette équation admette deux racines réelles ?
On donne les valeurs de la fonction de répartition
de la loi normale centrée réduite:
,
,
,
,
et
.



Calculer la probabilité que cette équation admette deux racines réelles ?
On donne les valeurs de la fonction de répartition






Corrigé de l'exercice de maths: Variables aléatoires continues
Correction
Le trinôme admet deux racines réelles lorsque son discriminant est positif, soit
![\[\Delta=A^2-4\geqslant0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/trinome_c/1.png)
avec la probabilité
![\[\begin{array}{ll}P(\Delta\geqslant0)\\
&=P(A^2\geqslant4)\\
&=1-P(A^2\leqslant4)\\
&=1-P(-2\leqslant A\leqslant2)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/trinome_c/2.png)
On se ramène alors à une loi normale centrée réduite en posant
![\[Y=\dfrac{A-\mu}\sigma=\dfrac{A-3}2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/trinome_c/3.png)
et on a alors
![\[\begin{array}{ll}P(\Delta\geqslant0)=1-P(-2,5\leqslant X\leqslant-0,5)\\
&=1-\lp\Phi(-0,5)-\Phi(-2,5)\rp\\
&=1-(1-\Phi(0,5))+(1-\Phi(2,5))\\
&=1-\Phi(2,5)+\Phi(0,5)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/trinome_c/4.png)
et donc, avec les données numériques fournies,
![\[\begin{array}{ll}P(\Delta\geqslant0)&=1-0,9938+0,6915\\&=0,6977\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/trinome_c/5.png)
![\[\Delta=A^2-4\geqslant0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/trinome_c/1.png)
avec la probabilité
![\[\begin{array}{ll}P(\Delta\geqslant0)\\
&=P(A^2\geqslant4)\\
&=1-P(A^2\leqslant4)\\
&=1-P(-2\leqslant A\leqslant2)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/trinome_c/2.png)
On se ramène alors à une loi normale centrée réduite en posant
![\[Y=\dfrac{A-\mu}\sigma=\dfrac{A-3}2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/trinome_c/3.png)
et on a alors
![\[\begin{array}{ll}P(\Delta\geqslant0)=1-P(-2,5\leqslant X\leqslant-0,5)\\
&=1-\lp\Phi(-0,5)-\Phi(-2,5)\rp\\
&=1-(1-\Phi(0,5))+(1-\Phi(2,5))\\
&=1-\Phi(2,5)+\Phi(0,5)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/trinome_c/4.png)
et donc, avec les données numériques fournies,
![\[\begin{array}{ll}P(\Delta\geqslant0)&=1-0,9938+0,6915\\&=0,6977\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/trinome_c/5.png)