Colles de mathématiques
Série exponentielle et termes pairs d'une loi de Poisson
Oral HEC - filière B/L, 2022
Sujet
oral HEC, BL - 2022
- Calculer la valeur de chacunes des sommes:
et
- Soit une variable aléatoire définie sur l'espace probabilisé suivant la loi de Poisson de paramètre .
Pour tout , on pose
Déterminer la loi de . La variable aléatoire admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.
Corrigé de l'exercice de maths: Variables aléatoires continues - Annales HEC - B/L
Correction
oral HEC, BL - 2022 - Exercice sans préparation.
- La série exponentielle est
On remarque alors qu'ici, on a
tandis que
et on trouve alors, par somme et différence,
et
- On rappelle que pour une loi de Poisson, on a .
Ici, on a avec
soit, grâce à la première question,
et, pour tout entier non nul ,
L'espérance de , si elle existe, est donnée par
On se ramène à la série exponentielle, à la série plus précisément, pour montrer que la série converge et calculer sa valeur