Colles de mathématiques
Somme géométrique d'un endomorphisme nilpotent
Oral ESCP - filière B/L, 2021
Exercice de maths: Diagonalisation - Annales ESCP - B/L
Sujet
Oral ESCP, BL - 2021
Soit
un
-espace vectoriel de dimension finie supérieure ou égale à 2 et soit u un endomorphisme non nul de
pour lequel il existe un entier naturel
tel que
et
.
Soit






- Déterminer les valeurs propres de
. L'endomorphisme u est-il diagonalisable ?
- Soit
un entier vérifiant
et
tel que
.
Justifier l'existence d'un tel vecteur. Montrer que la famille
est une famille libre de
.
- On note
l'endomorphisme identité de
et soit
l'endomorphisme de
défini par:
Montrer queest bijectif.
- Déterminer un lien entre
et
.
- En déduire les valeurs propres de
. L'endomorphisme
est-il diagonalisable ?