Colles de mathématiques
Somme matrice plus nilpotente
Oral ENS Ulm, filière B/L, 2021
Sujet
Soit une matrice pour laquelle il existe tel que .
- Donner un exemple d'une telle matrice.
- Trouver les valeurs propres de .
- La matrice est-elle diagonalisable ?
- Soit une autre matrice.
- On suppose que commute avec . Montrer que est inversible si et seulement si est inversible.
- Montrer que ce n'est plus vrai si et ne commutent pas. (on pourra chercher un contre-exemple avec ).
- On suppose ici que et . On prend tel que . Montrer que forme une base de . Écrire dans cette base.
Corrigé de l'exercice de maths: Annales ENS Ulm - B/L
Correction
Oral ENS ULM - 2021
- La matrice nulle convient.
On peut aussi prendre par exemple la matrice
pour laquelle . - Soit , alors il existe tel que ,
et donc, en multipliant plusieurs fois par , on doit avoir
.
Ainsi, comme , il vient donc .
En d'autres termes, on vient de trouver que .
Réciproquement, 0 est une valeur propre de , car n'est pas inversible (sinon le serait aussi, ce qui n'est pas le cas), et donc .
On a donc trouvé que a une unique valeur propre , ou encore que . - Si était diagonalisable, elle serait semblable à diagonale avec uniquement sur la diagonale donc , et alors . La seule matrice nilpotente et diagonalisable est la matrice nulle.
-
-
- Supposons inversible.
Soit . On a alors , et donc, en appliquant et en commutant:
Ensuite, en itérant, il vient
Or est inversible donc aussi donc .
On a ainsi montré que , ou encore, en d'autres termes, que est injective, donc bijective ou encore inversible.
- Réciproquement, supposons que inversible.
On a alors et, comme commute avec et que , on applique l'implication précédente à et et on obtient que inversible.
- Supposons inversible.
- Pour matrice nilpotente, comme proposé à la première question, on peut choisir .
On prend ensuite prendre par exemple .
-
- On peut commencer par montrer que cette famille est libre:
soit tel que
En appliquant , tous les termes de la somme s'annulent sauf le premier, à savoir
et, comme , on obtient donc , et la somme se réécrit
On applique maintenant , et il reste cette fois
d'où .
En répétant ce raisonnement, on trouve ainsi, successivement, . En d'autres termes, la famille est libre.
Comme de plus elle est composée de vecteurs dans un espace de dimension , on en déduit qu'elle est une base.
Enfin, dans cette base, envoie chaque vecteur sur le suivant sauf le dernier dont l'image est nulle. La matrice de est donc