Colles de mathématiques
Suite homographique avec un paramètre
Sujet
Soit
.
On définit
par
, puis,
pour tout entier
,
![$a\in\R_+^*\setminus\la2\ra$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex13/1.png)
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex13/2.png)
![$u_0>0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex13/3.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex13/4.png)
![$u_{n+1}=\dfrac{au_n+2}{2u_n+a}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex13/5.png)
- Montrer que
est défini pour tout
et que
.
- On pose, pour tout
,
.
Trouver une relation entreet
, et en déduire une expression de
en fonction de
,
et
.
- Exprimer
en fonction de
.
Corrigé de l'exercice de maths: Suites
Correction
- Par une récurrence immédiate, comme
, si
on a alors
.
Or, et donc pour tout entier
,
.
En particulier, on a aussice qui montre que
est bien toujours défini.
- Pour tout entier
, on a
ce qui montre queest géométrique de raison
.
- On a alors
soit, avec, avec
et
,
.