Colles de mathématiques
Tortues des Galapagos
Sujet
Soit
un entier naturel non nul.
Une tortue des Galapagos pond
oeufs qu'elle enfouit dans le sable d'une île.
Les oeufs ont (indépendamment les uns des autres) une probabilité
d'éclore et les bébés tortues qui naissent ont (de manière indépendante) une probabilité q d'être des bébés tortues mâles.
On pose
la variable aléatoire désignant le nombre de bébés tortues mâles qui naissent et
le nombre de tortues femelles qui naissent.

Une tortue des Galapagos pond

![$p\in]0, 1[$](/Generateur-Devoirs/Colles/CVA/TG/3.png)


- Donner les lois des variables
,
,
.
-
- Les variables
et
sont-elles indépendantes ?
- Calculer la covariance de
et
.
- Les variables
- On pose maintenant
suivant une loi de Poisson de paramètre
. Les autres hypothèses restent inchangées.
- Calculer la loi de
.
- Calculer la covariance de
et
.
- Les variables aléatoires
et
sont-elles indépendantes ?
- Calculer la loi de
Corrigé de l'exercice de maths: Couples de variables aléatoires
Correction
Oral ENSAE - Saclay - 2019
- Un bébé mâle nait avec la probailité
.
est égal au nombre de succès (bébé mâle) dans une répétition de
expériences aléatoires indépendantes.
La loi deest donc la loi binomiale de paramètres
et
.
De mêmesuit la loi binomiale de paramètres
et
.
Enfin,désigne le nombre d'œ ufs qui éclosent, et suit donc la loi binomiale de paramètres
et
.
-
- Les variables
et
ne sont pas indépendantes. Par exemple,
-
où
- Les variables
-
- On a alors
soit, en effectuant un changement d'indice dans la somme pour faire apparaître la série exponentielle:
qui est l'expression d'une loi de Poisson de paramètre.
- Pour la loi de Poisson de paramètre
, l'espérance et la variance sont égales à
.
La variable aléatoiresuit aussi une loi de Poisson de paramètre
, et la variable
est de paramètre
, d'où
- Pour deux entiers
et
, on a
Par ailleurs, d'après 3.a),
ce qui montre maintenant que les variableset
sont indépendantes.
- On a alors