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Colles de mathématiques

Trinôme composé avec arcsin


Sujet


  1. Soit u : x ↦ 3x − 4x3.
    Montrer que, pour tout x∈[−1;1], on a −1≤u(x)≤1.
  2. Étudier la fonction f définie sur [−1;1] par f (x) = arcsin(3x − 4x3) .
    Exprimer f (x) en fonction de arcsin x.

Corrigé de l'exercice de math

Correction


  1. \[u'(x)=3-12x^2=3(1-4x^2)=3(1-2x)(1+2x)\]


    $u'(x)$ est donc un trinôme du second degré de racines $-\dfrac12$ et $\dfrac12$ et donc,
    \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-1$ && $-\frac12$ && $\frac12$ && 1 \\\hline $u'(x)$ && $-$ &\zb&$+$&\zb&$-$ & \\\hline &1&&&&1&&\\ $u$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&& \Large{$\searrow$}&\\ &&&$-1$&&&&$-1$\\\hline \end{tabular}\]


    On en déduit donc bien que, pour tout $x\in[-1;1]$, $-1\leqslant u(x)\leqslant1$.
  2. $f$ est donc bien définie sur $[-1;1]$, et
    \[f'(x)=\lp3-12x^2\rp\dfrac{1}{\sqrt{1-\lp3x-4x^2\rp^2}}\]


    $f$ a donc le même sens de variation que $u$.