Colles de mathématiques
Calcul matriciel - Sous espace vectoriel de matrices
Sujet
On consdière les matrices
A =
1
0
0
0
1
1
3
1
1
,
B =
1
1
1
0
1
0
1
0
0
et
C =
1
1
1
1
2
1
0
−1
−1
- Calculer AB et AC. A peut-elle être inversible ?
- Déterminer l'ensemble ℰ des matrices F vérifiant AF = 0.
Montrer que ℰ est un sous espace vectoriel et préciser sa dimension.
Corrigé de l'exercice de maths: Matrices - Espaces vectoriels
Correction
On calcule
AB =
1
1
1
1
1
0
4
4
3
,
et de même
AC =
1
1
1
1
1
0
4
4
3
.
On a donc AB = AC, ou encore
On peut aussi interpréter en considérant l'application linéaire f dont la matrice (dans la base canonique par exemple) est A. Alors AB = AC montre directement que f n'est pas injective et donc ne peut bijective: sa matrice n'est pas inversible.
L'ensemble ℰ est clairement un sous espace vectoriel: c'est le noyau de l'application linéaire "produit à droite": M ↦ AM.
Soit M = a b c d e f g h i une matrice quelconque, alors
![\[\begin{array}{ll}AM=0&\iff\la\begin{array}{l}a=b=c=0\\d+g=e+h=f+i=0\\3a+d+g=3b+e+h=3c+f+i=0\enar\right.\\[2em]
&\iff\la\begin{array}{l}a=b=c=0\\d+g=e+h=f+i=0\enar\right.\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/exssevmat_c/13.png)
Ce qui montre que ℰ est généré par les trosi matrices, 0 0 0 d 0 0 −d 0 0 , 0 0 0 0 e 0 0 −e 0 , et 0 0 0 0 0 f 0 0 −f , ou encore que, en posant M1 = 0 0 0 1 0 0 1 0 0 et M2 = 000 010 0−10 et M3 = 000 001 00−1 alors on a plus simplement
On a donc AB = AC, ou encore
AB − AC = 0 ⇔ A(B − C) = 0
Ceci montre en particulier que A ne peut pas être inversible.
On peut aussi interpréter en considérant l'application linéaire f dont la matrice (dans la base canonique par exemple) est A. Alors AB = AC montre directement que f n'est pas injective et donc ne peut bijective: sa matrice n'est pas inversible.
L'ensemble ℰ est clairement un sous espace vectoriel: c'est le noyau de l'application linéaire "produit à droite": M ↦ AM.
Soit M = a b c d e f g h i une matrice quelconque, alors
Ce qui montre que ℰ est généré par les trosi matrices, 0 0 0 d 0 0 −d 0 0 , 0 0 0 0 e 0 0 −e 0 , et 0 0 0 0 0 f 0 0 −f , ou encore que, en posant M1 = 0 0 0 1 0 0 1 0 0 et M2 = 000 010 0−10 et M3 = 000 001 00−1 alors on a plus simplement
ℰ = vect M1, M2, M3
On a alors aussi trouvé en particulier que dim(ℰ) = 3.